mo8.co 设 \(\mathcal{S}\) 为 \(\mathbb{R}\) 上的 Schwarz 空间，\(L=-\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2}+x^2\) 为 \(\mathcal{S}\) 上的 Hermite 算子。证明 \(L \geqslant I\), 即 \(\langle L(f), f\rangle \geqslant\langle f, f\rangle, \forall f \in \mathcal{S}\), 其中 \(\langle f, g\rangle=\int_{\mathbb{R}} f(x) g(x) \mathrm{d} x\).

问题: 设 \(\mathcal{S}\) 为 \(\mathbb{R}\) 上的 Schwarz 空间，\(L=-\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2}+x^2\) 为 \(\mathcal{S}\) 上的 Hermite 算子。证明 \(L \geqslant I\), 即 \(\langle L(f), f\rangle \geqslant\langle f, f\rangle, \forall f \in \mathcal{S}\), 其中 \(\langle f, g\rangle=\int_{\mathbb{R}} f(x) g(x) \mathrm{d} x\).

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